Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой оси, т. е.

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки, т. е.

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, т.е.

Моменты инерции выражаются в и т.д.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражения под знаки интегралов входят величины площадок (всегда положительные) и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса.

На рис. 9.5, а изображено сечение площадью F и показаны оси у и z. Осевые моменты инерции этого сечения относительно осей у :

Сумма этих моментов инерции

и, следовательно,

Таким образом, сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей.

Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Так, например, центробежный момент инерции сечения, показанного на рис. 9.5, а, относительно осей у и положителен, так как для основной части этого сечения, расположенной в первом квадранте, значения , а следовательно, и положительны.

Если изменить положительное направление оси у или на обратное (рис. 9.5,б) или повернуть обе эти оси на 90° (рис. 9.5, в), то центробежный момент инерции станет отрицательным (абсолютная величина его не изменится), так как основная часть сечения будет тогда располагаться в квадранте, для точек которого координаты у положительны, а координаты z отрицательны. Если изменить положительные направления обеих осей на обратные, то это не изменит ни знак, ни величину центробежного момента инерции.

Рассмотрим фигуру, симметричную относительно одной или нескольких осей (рис. 10.5). Проведем оси так, чтобы хотя бы одна из них (в данном случае ось у) совпадала с осью симметрии фигуры. Каждой площадке расположенной справа от оси соответствует в этом случае такая же площадка расположенная симметрично первой, но слева от оси у. Центробежный момент инерции каждой пары таких симметрично расположенных площадок равен:

Следовательно,

Таким образом, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей относительно этой же оси.

Аналогично центробежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих же осей. Также и полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции составляющих его частей относительно той же точки.

Следует иметь в виду, что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

При определении моментов инерции составного сечения последнее разбивают на простые фигуры, у которых известны положения центров тяжести и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (2.5) находят координаты центра тяжести всего сечения в системе произвольно выбранных вспомогательных осей. Параллельно этим осям проводят центральные оси, относительно которых определяют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (2.6). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формуле (2.12), а положение главных центральных осей - по формулам (2.11).

Пример 2.1. Определим моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения двутавровой балки 130, усиленной двумя стальными листами сечением 200 х 20 мм (рис. 2.12).

Оси симметрии Ох, Оу являются главными центральными осями всего сечения. Выпишем из сортамента (см. приложение) значения площади и моментов инерции сечения двутавра относительно осей Ох, Оу:

Моменты инерции сечений листов относительно собственных центральных осей определим по формулам (2.14):

Площадь всего сечения равна F = 46,5 + 2 20 2 = 126,5 см 2 .

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей Ох, Оу определяются по формулам (2.6):

Пример 2.2. Определим моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения стойки стропильной фермы из двух равнобоких уголков 1_70х70х8, составленных крестообразно (рис. 2.13). Совместная работа уголков обеспечивается соединительными планками.

Координаты центра тяжести сечения уголка, значения площади и моментов инерции относительно собственных центральных осей Ох^ и Оу 0 приведены в сортаменте (см. приложение):

Расстояние от центра тяжести О всего сечения до центра тяжести уголка равно а = (2,02 + 0,4)л/2 = 3,42 см.

Площадь всего сечения равна F = 2 10,7 = 21,4 см 2 .

Моменты инерции относительно главных центральных осей, которыми являются оси симметрии Ох, Оу, определяются по формулам (2.6):

Пример 2.3. Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения балки, составленной из двух швеллеров х ] и О х у { . Тогда по формулам (2.5) получим:

Эти величины и координаты центров тяжести швеллера и уголка в системе координат Оху показаны на рис. 2.16 и соответственно равны:

Определим по формулам (2.6) моменты инерции сечения относительно центральных осей Ох и Оу

По формулам (2.12) и (2.11) найдем величины главных моментов инерции и углы наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох:

Осевой (или экваториальный) момент инерции сечения относительно оси — это взятая по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:

Выделяют полярный момент инерции сечения по отношению к некоторой точке (полюсу). Полярным моментом инерции сечения называют взятую по свей площади S сумму произведений бесконечно малых площадок (), умноженных на расстояние от этих площадок до полюса, взятые в квадрате:

где В случае перпендикулярности осей, относительно которых известны моменты инерции, полярный момент инерции по отношению к точке пересечения этих осей легко находится, как результат суммирования осевых моментов инерции:

Иногда рассматривают центробежный момент инерции сечения, который находят как

выражение (4) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок () на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Центробежные моменты инерции сечений могут быть больше и меньше нуля. Центробежный момент инерции сечения относительно осей, одна из которых или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Центробежный момент инерции сложного сечения относительно двух нормальных друг к другу осей можно найти как сумму центробежных моментов инерции частей по отношению к тем же осям. Полярный момент инерции обладает таким же свойством. Однако нельзя складывать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Определите осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси, которая проходит через его основание (рис.1). Длина основания треугольника равна , его высота .
Решение	Сделаем рисунок. Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что: Тогда площадь выделенной площадки найдем как: Момент инерции треугольного сечения относительно оси Z по определению равен:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найдите полярный момент инерции сечения в виде круга относительно его центра. Радиус круга равен .
Решение	Для начала найдем осевой момент инерции круга относительно оси OZ (см. рис.2). Выделим на круге элементарную площадку в виде прямоугольника со сторонами и . Из рис. 2 следует

Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.

Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.

Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.

Определение собственных характеристик отдельных профилей - составляющих сечения

Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.

Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:

- высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;

- площадь $A$= 37,9 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x}$=1570 см 4 , ${I_y}$= 482 см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=505 см 4 ;

- координаты центра тяжести ${x_c}$= 2,83 см, ${y_c}$= 6,51 см.

Для равнополочного уголка 14/1:

- высота и ширина уголка h = b = 14 см;

- площадь $A$= 27,3 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x}$= ${I_y}$= 512 см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$=301 см 4 ;

- координаты центра тяжести ${x_c}$= ${y_c}$= 3,82 см.

Для прямоугольника 20х2см:

- высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;

Площадь $A$= 20 ∙ 2 = 40 см 2 ;

- собственные осевые моменты инерции ${I_x} = \frac{{2 \cdot {{20}^3}}}{{12}} = 1330$ см 4 , ${I_y} = \frac{{20 \cdot {2^3}}}{{12}} = 13,3$см 4 ;

- собственный центробежный момент инерции ${I_{xy}}$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.

Определение центра тяжести сечения

Общая площадь всего сечения A = 37,9+27,3+40 = 105см 2 .

Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:

${X_c} = \frac{{\sum {{X_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{(- 13}}{\text{,5) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{(- 3}}{\text{,82) + 40}} \cdot {\text{1}}}}{{{\text{105}}}}{\text{ = - 5}}{\text{,49}}$см;

${Y_c} = \frac{{\sum {{Y_i} \cdot {A_i}} }}{A} = \frac{{{\text{37}}{\text{,9}} \cdot {\text{(- 2}}{\text{,83) + 27}}{\text{,3}} \cdot {\text{10}}{\text{,2 + 40}} \cdot {\text{10}}}}{{105}} = 5,44$.

При этом в координатах центров тяжести составных обязанности ’ обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести - центральные оси $Xc$ и ${Y_c}$.

Определение центральных моментов инерции

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.

$Ix = \sum {\left({I{x_i} + A \cdot {b^2}} \right) = {\text{482 + 8}}{\text{,2}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 4}}{\text{,7}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 1330 + 4}}{\text{,5}}{{\text{6}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40 = 6360}}} $см 4 ;

$Iy = \sum {\left({I{y_i} + A \cdot {a^2}} \right)} = {\text{1570 + 8}}{\text{,0}}{{\text{1}}^{\text{2}}} \cdot {\text{37}}{\text{,9 + 512 + 1}}{\text{,6}}{{\text{7}}^{\text{2}}} \cdot {\text{27}}{\text{,3 + 13}}{\text{,3 + 6}}{\text{,4}}{{\text{9}}^{\text{2}}} \cdot {\text{40 = 6280}}$см 4 ;

${I_{xy}} = \sum {\left({{I_{xy}}_i + A \cdot a \cdot b} \right)} = $

$ = 505 + (- 8,01) \cdot (- 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120$см 4 .

При этом обязанности ’ обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции ${I_x}$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси ${X_c}$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.

Определение положения главных осей и главных моментов инерции

Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле

\ $\alpha = \frac{{arctg(- 97)}}{2} = - 44,7^\circ $.

Если $\alpha > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.

Главные моменты инерции определяются так

${I_{x0}} = {I_x} \cdot {\cos ^2}\alpha + {I_y} \cdot {\sin ^2}\alpha - {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6360 \cdot {\cos ^2}(- 44,7^\circ) + 6280 \cdot {\sin ^2}(- 44,7^\circ) - 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ) = 10430$см 4 .

${I_{y0}} = {I_y} \cdot {\cos ^2}\alpha + {I_x} \cdot {\sin ^2}\alpha + {I_{xy}} \cdot \sin 2\alpha = $

$ = 6280 \cdot {\cos ^2}(- 44,7^\circ) + 6360 \cdot {\sin ^2}(- 44,7^\circ) + 4120 \cdot \sin (- 2 \cdot 44,7^\circ) = 2210$см 4 .

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Радиусы инерции. Моменты сопротивления

Радиусы инерции сечения

${i_x} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_x}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{10430}}{{105}}}} = 9,96$см, ${i_y} = \sqrt[{}]{{\frac{{{I_y}}}{A}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{2210}}{{105}}}} = 4,58$см.

Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния ${x_{\max }}$ и ${y_{\max }}$ до максимально удаленных точек от главных осей. Сначала необходимо по чертежам определить, какие точки являются наиболее удаленными. В нашем случае это точки $A$ и $B$ (рис.). Искомые расстояния можно определить, имея координаты этих точек в центральных (не возвращенных осям).

${x_{\max }} = {x_A} \cdot \cos \left(\alpha \right) + {y_A} \cdot \sin \left(\alpha \right)$

${y_{\max }} = {y_B} \cdot \cos \left(\alpha \right) - {x_B} \cdot \sin \left(\alpha \right)$

X А = - 8,53см Y A =8,57см

X B = - 14,5см Y B = - 18см

x max = - 12,1см y max = - 23см

Моменты сопротивления

${W_x} = \frac{{{I_x}}}{{{y_{\max }}}} = \frac{{10430}}{{23}} = 454$см 3 ; ${W_y} = \frac{{{I_y}}}{{{x_{\max }}}} = \frac{{2210}}{{12.1}} = 183$см 3 .

Способ вычисления моментов инерции сложных сечений основан на том, что любой интеграл можно рассматривать как сумму интегралов и, следовательно, момент инерции любого сечения вычислять как сумму моментов инерции отдельных его частей.

Поэтому для вычисления моментов инерции сложное сечение разбивается на ряд простых частей (фигур) с таким расчетом, чтобы их геометрические характеристики можно было вычислить по известным формулам или найти по специальным справочным таблицам.

В ряде случаев при разбивке на простые фигуры для уменьшения числа или упрощения их формы сложное сечение целесообразно дополнять некоторыми площадями. Так, например, при определении геометрических характеристик сечения, показанного на рис. 22.5, а, его целесообразно дополнить до прямоугольника , а затем из геометрических характеристик этого прямоугольника вычесть характеристики добавленной части . Аналогично поступают и при наличии отверстий (рис. 22.5, б).

После разбивки сложного сечения на простые части для каждой из них выбирается прямоугольная система координат, относительно которой надо определить моменты инерции соответствующей части. Все такие системы координат принимаются параллельными друг другу для того, чтобы затем путем параллельного переноса осей можно было подсчитать моменты инерции всех частей относительно системы координат, общей для всего сложного сечения.

Как правило, система координат для каждой простой фигуры принимается центральная, т. е. ее начало совпадает с центром тяжести этой фигуры. В этом случае последующий подсчет моментов инерции при переходе к другим параллельным осям упрощается, так как формулы перехода от центральных осей имеют более простой вид, чем от нецентральных.

Следующим этапом является вычисление площадей каждой простой фигуры, а также ее осевых и центробежного моментов инерции относительно осей выбранной для нее системы координат. Статические моменты относительно этих осей, как правило, равны нулю, так как для каждой из частей сечения эти оси обычно являются центральными. В случаях, когда это нецентральные оси, необходимо вычислять статические моменты.

Полярный момент инерции вычисляется только для круглого (сплошного или кольцевого) сечения по готовым формулам; для сечений других форм эта геометрическая характеристика не имеет какого-либо значения, так как при расчетах она не используется.

Осевые и центробежный моменты инерции каждой простой фигуры относительно осей ее системы координат подсчитываются по имеющимся для такой фигуры формулам или таблицам. Для некоторых фигур имеющиеся формулы и таблицы не позволяют определить необходимые осевые и центробежный моменты инерции; в этих случаях приходится пользоваться формулами перехода к новым осям (обычно для случая поворота осей).

В таблицах сортамента величины центробежных моментов инерции для уголков не указаны. Методика определения таких моментов инерции рассмотрена в примере 4.5.

В подавляющем большинстве случаев конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение его главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Поэтому следующим этапом вычисления является определение координат центра тяжести заданного сечения [по формулам (6.5) и (7.5)] в некоторой произвольной (случайной) системе координат Через этот центр тяжести сечения проводятся вспомогательные (не главные) центральные оси параллельные осям системы координат простых фигур.

Затем с помощью формул, устанавливающих зависимости между моментами инерции для параллельных осей (см. § 5.5), определяются моменты инерции каждой простой фигуры относительно вспомогательных, центральных осей Путем суммирования моментов инерции каждой простой фигуры относительно осей определяются моменты инерции всего сложного сечения относительно этих осей; при этом моменты инерции отверстий или добавленных площадок вычитаются.