Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.
Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)
На площадках,
параллельных s 1 ,
(рис. 4.12, а), напряжения зависят только
отs 2 иs 3 и не зависят отs 1 ,
т. к.
,
тогда согласно (4.18)
Круг Мора, соответствующий этому случаю, представлен на рис. 4.13 кругом «а».
Напряжения в семействе площадок, параллельных s 2 , определяются по кругу «б», а в семействе площадок, параллельныхs 3 – с помощью круга «в».
В теории упругости доказывается, что площадкам общего положения соответствуют точки, лежащие в заштрихованной области (рис. 4.13).
Из представленного
рисунка следует, что наименьшее и
наибольшее нормальные напряжения равны
наименьшему и наибольшему главным
напряжениям
,
.
Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга
и действуют по
площадке, равнонаклонённой к площадкам
максимального и минимального из главных
напряжений (
).
Деформации при объемном напряженном состоянии .
Обобщенный закон Гука
Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы.
Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями
,
(4.12)
Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14).
Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.
Применяя принцип суперпозиции,
объемное напряженное состояние изобразим
как сумму трех линейных напряженных
состояний (рис. 4.15). В этом случае
деформацию по направлению первого
главного напряженияs 1 можно записать
,где
,
,
- относительные удлинения в
направлении
s 1 , вызванные
соответственно действием только
напряжениями s 1 ,s 2 ,s 3 .
Поскольку
является для напряженияs 1 продольной деформацией, а
,
- поперечными деформациями, то из формул
(4.12) следует:
,
,
.
(4.13)
Складывая эти величины, получим .
Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате
(4.14)
.
Эти формулы носят
название обобщенного закона Гука для
изотропного тела, т. е. определяют
зависимость между линейными деформациями
и главными напряжениями в общем случае
объемного напряженного состояния. Из
этих формул легко получить закон Гука
для плоского напряженного состояния.
Например,
:
Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям.
При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем
исходить
из условия, что угловые деформации не
зависят от нормальных напряжения, а
ли-нейные деформации не зависят от
касательных напряжений. В этом случае
относительное удлинение по направлению
оси х
будет обусловлено напряжением
σ х и равно
.
Напряжениям
в этом направлении будут соответствовать
удлинения
и
.По
аналогии получим такие же выражения
для
и
.
Таким образом,
(4.15)
.
Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями
(4.16)
Совокупность деформаций, возникающих по различн ым направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называетсядеформированным состоянием в точке.
Наряду с линейной
и угловой деформацией в сопротивлении
материалов приходится рассматривать
иногда и объёмную деформацию, т.е.,
относительное изменение объема в точке.
Линейные размеры ребер элементарного
параллелепипеда
в результате деформации меняются и
становятся равными.
Абсолютное приращение объёма определится
разностью
-
.
Раскрывая скобки
и пренебрегая произведениями линейных
деформаций, как величинами второго
порядка малости, получим
.
Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения
е
.
Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим
e
(4.17)
Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.
4.8 Потенциальная энергия деформации
в общем случае напряженного состояния
Потенциальная
энергия, накопленная в элементарном
объёме, определяется суммой работ сил,
распределённых по поверхности этого
объёма (рис.4.16). Нормальная сила
на грани перпендикулярной осих
,
равную
,
где
- относительная линейная деформация
вдоль осих
, вызванная всеми
действующими силами.
Аналогичные
работы совершат и остальные нормальные
силы, действующие по граням перпендикулярным
осям у
и х
:
,
.
Касательная
сила
dxdzна площадке перпендикулярной осиy
совершит работу на перемещении
,
равную
.
Аналогичные выражения работ дают и
касатель-
альной энергией и будет равна
Используя выражения закона Гука для деформаций (4.15), (4.16), окончательно полу-чим (4.18)
Для главных напряжений . (4.19)
Круг Мора - это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Названа в честь Отто Кристиана Мора . Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений .
Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман . Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности , основанного на круговой диаграмме напряжений .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные . Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона , приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением . Т.к. тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.
cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 , sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 , sin 2 θ = 2 sin θ cos θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{,}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }Тогда можно получить
σ n = 1 2 (σ x + σ y) + 1 2 (σ x − σ y) cos 2 θ + τ x y sin 2 θ {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }Касательное напряжение также действует на площадке площадью d A {\displaystyle dA} . Из равенства проекций сил на ось τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} (ось y ′ {\displaystyle y"} ) получаем:
∑ F y ′ = τ n d A + σ x d A cos θ sin θ − σ y d A sin θ cos θ − τ x y d A cos 2 θ + τ x y d A sin 2 θ = 0 τ n = − (σ x − σ y) sin θ cos θ + τ x y (cos 2 θ − sin 2 θ) {\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{y"}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}}Известно, что
cos 2 θ − sin 2 θ = cos 2 θ , sin 2 θ = 2 sin θ cos θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{,}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }Тогда можно получить
τ n = − 1 2 (σ x − σ y) sin 2 θ + τ x y cos 2 θ {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }Круг Мора (рис. 8.2 ) вычерчивается в прямоугольной системе координат. Полагается, что σ 1 ≥σ 2
Рис. 8.2. Графическое представление напряженного состояния грунта (круг Мора)
Построение круга Мора производится в следующей последовательности. От начала координат откладываем значения σ 1 и σ 3 . Из точки В проводят окружность радиусомт R . Любая точка E на окружности характеризует напряженное состояние грунта в плоскости, проходящей через рассматриваемую точку. Угол наклона α линии ЕА - это угол наклона рассматриваемой площадки к главной. Центральный угол наклона отрезка EB равен 2α. Нормальные напряжения по этой площадке а представляются по горизонтальной оси отрезком ОЕ", касательные τ - перпендикулярным отрезком ЕЕ" .
Значения σ и τ могут быть определены через σ 1 и σ 3 по формулам (8.1) и (8.2).
Максимальные и минимальные касательные напряжения соответствуют sin 2α = 1 и sin 2α = -1, т.е. углам 2α=π/2 или 3π/2 (α=45° или 135°).
Полное результирующее напряжение на рассматриваемой площадке
Угол отклонения σ n от нормали к площадке
(8.4)Значение угла θ при изменении угла α от 0 до 90° сначала возрастает от нуля до некоторого θ max , а затем убывает до нуля.
Угол θ максимален, когда линия ОE станет касательной к кругу напряжений. Из треугольника ОBЕ :
(8.5)Максимальное отклонение полного (результирующего) напряжения на угол θmax нормали к площадке имеет место при:
Следовательно, отклонения площадки скольжения от направления наибольшего главного напряжения σ 1
(8.7)Таким образом, в предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом 45°- φ/2 к линии действия максимального и 45° + φ/2 - минимального главного напряжения (рис. 8.3 ).
Рис. 8.3. Ориентация площадок скольжения относительно главных напряжений: 1, 2 - площадки скольжения
Для сыпучих грунтов во всех случаях θ max не может быть больше угла внутреннего трения φ. А разрушение сыпучих грунтов наступает, когда угол отклонения полного(результирующего) напряжения равен углу внутреннего трения:
θ max = φ (8.8)
Выражение (8.8) является условием прочности грунта. Тогда уравнение предельного равновесия можно записать в следующем виде:
(8.9)Выражение (8.9) известно в механике грунтов как условие прочности (предельного равновесия) для песчаных (сыпучих) грунтов. После несложных тригонометрических преобразований это выражение можно записать в следующем виде:
(8.10)
(8.11)Это выражение часто используют в теории давления грунтов на ограждения (глава 10). Для связных грунтов также можно записать условие предельного равновесия, предварительно построив круги Мора (рис. 8.4 ) по результатам испытания в стабилометре (см. рис. 5.7).
Рис. 8.4. Круги Мора, построенные по результатам испытания образцов грунта на сжатие в стабилометре
Радиус круга
ВД = (σ 1 - σ 3)/2 (8.12)
а отрезок О"Д можно найти из выражения
Отрезок О"О , отсекаемый наклонной линией на оси абсцисс (см. рис. 8.4), называют давлением связности, которое можно представить в виде
(8.14)Давление связности (8.14) можно условно считать начальным давлением связного грунта, которое необходимо преодолеть при испытании на сдвиг. Зная ВД (8.12) и О"Д (8.13), а также используя (8.14), найдем
(8.15)Выражение (8.15), связывающее главные напряжения в момент разрушения образца с углом внутреннего трения, принято называть уравнением предельного равновесия для связных грунтов.
Уравнение (8.15) в некоторых случаях удобно использовать не в главных напряжениях, а в компонентах, записанных относительно координатных осей. Из сопротивления материалов известно, что:
(8.16)Тогда, рассматривая совместно уравнения (8.15) и (8.16), можно записать уравнение предельного равновесия в следующем виде:
(8.17)Аналогичным образом можно выразить и уравнение (8.9).
Зависимость напряжений σ n и τ n , действующих на площадку с нормалью n, проходящую через рассматриваемую точку, можно представить наглядно графически при помощи круговой диаграммы Мора (кругов Мора).
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Заданы главные напряжения σ 1 и σ 2 (см. рис. 2) . Откладываются отрезки ОA=σ 1 и ОВ=σ 2 с учетом знаков (рис. 1). На отрезке АВ, как на диаметре, строится окружность. Из точки В проводится прямая под углом α к оси σ. Координаты точки D пересечения этой прямой с окружностью дают напряжения по наклонной площадке: ОЕ=σ n , ED=τ n .
Рисунок 1.
Заданы напряжения α х, σ y , τ ху (рис. 2). Откладываются отрезки ОЕ=σ х и OF=σ y с учетом знаков. Из точки Е (независимо от ее положения) откладывается отрезок ED=τ xy также с учетом знака. Из точки С, делящей отрезок EF пополам, как из центра строится окружность радиусом CD. Прямая BD определяет направление действия вектора главного напряжения σ 1 , а абсциссы точек пересечения окружности с осью σ дают величины главных напряжений: OА=σ 1 , ОВ=σ 2 .
Рисунок 2.
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Строятся три полуокружности на отрезках, изображающих разности главных напряжений σ 1 -σ 3 , σ 2 -σ 3 , σ 1 -σ 2 , как на диаметрах (рис. 3). Напряжения σ n и τ n по наклонной площадке, нормаль к которой образует углы α, β и γ с направлениями трех главных напряжений, определяются путем следующего построения. Проводятся линии АЕ и BF соответственно под углами α и γ от вертикали. Через полученные точки пересечения Е и F проводятся дуги радиусами С 2 Е и C 1 F до пересечения в точке D, координаты которой и дают величины напряжений σ n и τ n . Точки, изображающие напряженные состояния по разным площадкам, не выходят из области, заключенной между тремя полуокружностями (заштрихована на рисунке).
